Artun'un Karalama Defteri

 1. Yazı

Bundan 2 ay önce ‘Sonlu Elemanlar Analizi Nedir?’ adlı yazımda fazla terimlere girmeden, mümkün olduğunca basit olarak konuyu aktarmaya çalışmıştım. Bu yazıda ise konunun teknik kısmına eğileceğim. Sonlu elemanlar analiz (FEA) nedir, neden ve nasıl yapılır sorularını cevaplamaya çalışacağım. Olabildiğince de basit izah etmeye çalışacağım.

Zaten ne zamandır düşündüğüm bu yazıda, esas olarak MIT’nin (Massachussets Institute of Technology) internette yayınladığı (‘FEA of Solids and Fluids I’ dersinin) açık ders notlarından yararlandım.

İlk yazıda belirttiğim üzere, bir makine mühendisi yeni tasarımlar geliştirerek insanların hayatını kolaylaştırmaya çalışmaktadır. Bir tasarımın etkili olması için belli kriterler vardır:

• Yapması gerektiği işi verimli yapabilmesi,
• Ucuz malzemelerden imal edilmesi,
• Uç çalışma koşullarında güvenilir olması,
• Üretim maliyetinin az olması,
• Göze çekici gelmesi, vb.

Bu kriterleri sağlamak için de analiz yapılması gerekir. Peki ‘analiz’ ne demektir?

Analiz, aslında doğayı irdelemek, modellemek, simüle etmek demektir. Analiz, içinde yaşadığımız dünyayı anlamamıza yarar ve yaşamımızı zenginleştirir. Bu yüzden de çoğu ünlü filozof aslında analist ve mühendistir.

Benim değinmek istediğim analiz ise, mekanik yasaları üzerine uygulanır. Bu yasalar, üçe ayrılır:

• Katı/yapısal mekaniği (Katı dinamiği)
• Sıvı mekaniği (Akışkanlar dinamiği)
• Isıl mekanik (Termodinamik)

Bir sonlu elemanlar analizi, yukarıdaki yasaları (bu yazı için sadece katı dinamiği) uygulayarak aşağıdaki adımları takip eder:

Şimdi de bu adımların en can alıcı kısmı olan, çözüm aşamasına değinelim. Sonlu elemanlar metodu bir tasarımı nasıl analiz ediyor? Bunun altında yatan teori ne?

Tüm sonlu eleman problemleri, hareket denklemi yardımıyla çözülür:

Bu denklemde M, kütleyi; C, sönümlemeyi; K, sertliği (stiffness); U, hareket sonucu oluşan deplasmanı; Ù, hareket sonucu oluşan hızı; Ü, hareket sonucu oluşan ivmeyi ve R(t) ise dışarıdan tasarıma etkiyen koşulu gösterir.

Bu parametreleri elde etmek problemin ilk sorunudur. Bunun için tasarımın sanal ortamda çizilmiş bir geometrisi (CAD) (1), malzeme bilgileri ve analiz şartları (sınır koşulları) (2) olmalıdır.

İlk yazımda ‘meshleme’ yapılarak bir geometrinin nasıl sonlu eleman modeline dönüştürüleceğini aktarmıştım. Özet olarak, sonsuz tane noktadan oluşan bir tasarımı en ideal biçimde temsil edecek şekilde sonlu tane noktaya indirilmesidir. Oluşturulan her sonlu noktaya ‘düğüm noktası (node)’, birkaç düğüm noktasının oluşturduğu yapıya ise ‘eleman (element)’ denir.

Her düğüm noktası için aşağıdaki üç koşul sağlanarak kendi hareket denklemi oluşturulur:

I)                  Denklik:             Katılar için F=m.a (3) denklemi kullanılır

II)                 Uyumluluk:           Devamlılık (4) ve sınır koşulları denkleme katılır

III)                Yapısal Bağlantılar:  Gerilim-gerinim kanunları (5) katılır

Her noktanın her serbestlik derecesindeki (6) hareket denklemi bir araya getirilerek tüm tasarıma ait bir hareket denklemi oluşturulur. Bu nihai denklemde, parametreler matris halindedir ve denklem, basitse lineer cebir, değilse diğer sayısal yöntemler (Newton-Ralphson yöntemi gibi) (7) kullanılarak çözülür. Genelde de milyonlarca bilinmeyene sahip denklemler oluşur ve bunları çözmek için milyarlarca iterasyon yapılır. Bu yüzden de analiz yapan bilgisayarların, oldukça yüksek kapasiteli olması tercih edilir.

Şöyle bir örnek veriyim: Benim uğraştığım modeller genelde 1.3-1.5 milyon düğüm noktasına sahip oluyor. Bu da kabaca 8 milyon denklem demek. Böyle bir modelin çarpışma analizi 48 çekirdekli, 96 GB RAM’e sahip bir bilgisayarda 1-1.5 günde bitebiliyor! Benim yaptığım titreşim analizleri ise 12 çekirdekli, 12 GB RAM’e sahip bilgisayarda 2 saatte bitiyor (Bu süreye özel bir çözücü sayesinde ancak 5 ay önce inebildim, daha önce 3 gün beklediğimi hatırlıyorum. Zaten ev bilgisayarınızla böyle bir analizi yapamazsınız!).

Tüm analizlerde, tüm parametrelerin olması gibi bir zorunluluk yoktur. Hatta çoğu zaman, birkaç parametre 0 olduğundan denklem daha basitleşir. Dolayısıyla, analizin türü, çözümlemede önem kazanır. Detaya inmeden adlarından bahsedersek; implisit ve eksplisit olmak üzere iki ana analiz türü vardır. Implisitte lineer veya az nonlineer analizler çözülürken, eksplisitte yüksek nonlineer analizler çözülür. Mesela savunma sanayinde, bir mayın/bomba patladığında çevreye vereceği hasar böyle analiz ediliyor.

Yukarıda bahsettiğim üzere, tüm bu analizleri elde hesaplamak imkansız! Yüksek kapasiteli bilgisayarlarda özel programlar/çözücüler yardımıyla hesaplanıyor. Oldukça çeşitli ticari mühendislik programları var. ANSYS, ABAQUS, Nastran, Radioss içlerinde en bilinenleri ve genel olanları. AMLS gibi belli bir analiz türüne özel çözücüler de var, Hypermesh gibi sadece çözüm öncesi işlemleri yapan programlar da var. Toplamda 3 yılı biraz aşan kariyerimde (sektör için oldukça az), ANSYS, Radioss, Nastran ve Hypermesh kullandım. Her birisinin avantajları ve dezavantajları vardır ama önemli olan ne amaçla analiz yapacağınızdır. Buna doğru karar verirseniz maliyet (ticari manada minimum yıllık 20 bin dolara satılırlar) ve zaman olarak optimumu sağlarsınız.

Bu yazıda, özet olarak ‘sonlu elemanlar metodu’nun teorisine inmeye çalıştım. Amacım, hiç bilmeyenlere genel bir açıklama yapmak ve mühendislikle uğraşan veya ilgilenenlere Türkçe bir baz kaynak yazmaktı. Umarım amacıma ulaşırım. Sonraki yazımda biraz daha özele inerek, NVH (ses ve titreşim) analizlerine değieneceğim ama ne zaman yazarım meçhul.

(1)    CAD:      Günümüzde CATIA, UniGraphics gibi programlarla seri üretimi yapılacak parçaların 3D çizimleri zaten çiziliyor. Hem teknik resim almak, hem makinelere girmek hem de FEM gibi mühendislik uygulamalarında kullanmak için.

(2)    Sınır koşulları: Analizin senaryosudur. Hangi şartlarda analiz edileceğini gösterir. Mesela ‘arabanın 100 km/s hızla giderken bir duvara çarpması’ analizinde ilk hız ve duvar birer sınır koşuludur.

(3)    F=m.a : Newton’un birinci kanunu. Kuvvet, ivme ile kütlenin çarpımına eşittir. Oldukça basit bir kanun olmasına karşı, çoğu kompleks teorinin temel aksiyomunu oluşturur. Tabii kütlenin korunduğunu ve zamanla değişmediğini varsayarak.

(4)    Devamlılık: Sonlu elemanlar metodunda, eleman kavramı burada devreye giriyor. Tasarım üzerinde hiçbir düğüm noktası birbirinden bağımsız değildir. Elemanlarla bağlanan düğüm noktaları, böylece matematiksel olarak da birbirlerine bağlanıyor.

(5)    Gerilim-gerinim kanunları: Bunlar temel mukavemet kanunlarıdır. Lineer bir malzemede gerilim (stress), elastisite modülü ile gerinimin (strain) çarpımına eşittir. Malzeme nonlineer olursa çözüm daha zorlaşır.

(6)    Serbestlik derecesi: Genel şartlarda, uzayda bağımsız bulunan bir nokta 6 farklı şekilde hareket edebilir. Bunlardan 3’ü doğrusal (X, Y ve Z eksenlerinde), 3’ü de dönüşseldir (X, Y ve Z eksenleri etrafında). İşte bir noktanın, hareket edebilme yetisine serbestlik derecesi denir. Sonlu elemanlarda, elemanlarla birbirlerine bağlanan noktaların serbestlik dereceleri de sınırlanır.

(7)    Sayısal yöntemler: Milyonlara varan denklemleri çözmek için bir sürü sayısal yöntem geliştirilmiştir. Sonlu eleman çözücüleri arasındaki temel fark da, kullandıkları sayısal yöntem ve bunu uygulama biçimleridir. Hala daha bu yöntemler; daha verimli, daha hızlı ve daha az hatalı sonuç vermeleri için geliştirilmektedir.

3. Yazı                                4. Yazı